Mathematische Taschenrechner

Standardabweichungsrechner

Dieser Standardabweichungsrechner gibt Ihnen die Standardabweichung, Varianz, Mittelwert und Summe eines bestimmten Datensatzes.

Berechnen Sie die Standardabweichung

Datensatz ist ein:

Inhaltsverzeichnis

Wie benutzt man diesen Rechner?
Was ist die Standardabweichungsformel?
Bevölkerungsstandardabweichung
Standardabweichung der Stichprobe
Unkorrigierte Standardabweichung der Stichprobe
Korrigierte Standardabweichung der Stichprobe
Unverzerrte Standardabweichung der Stichprobe
Anwendungen der Standardabweichung
Verweise
Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß für die Variation oder Streuung in einem bestimmten Datensatz. Eine niedrige Standardabweichung weist darauf hin, dass die Datenpunkte im Datensatz im Durchschnitt näher am Mittelwert des Datensatzes liegen. Eine hohe Standardabweichung weist darauf hin, dass zwischen den Datenpunkten im Datensatz und den über einen größeren Bereich verteilten Werten eine größere Variabilität besteht.
„SD“ steht für Standardabweichung und ist die am häufigsten verwendete Abkürzung.

Wie benutzt man diesen Rechner?

Um die Standardabweichung mit diesem Rechner zu berechnen, müssen Sie Ihren Datensatz in das Textfeld des Rechners eingeben. Trennen Sie jeden Datenpunkt durch Leerzeichen, Kommas oder Zeilenumbrüche.
Nachdem Sie Ihre Daten eingegeben haben, klicken Sie auf die Schaltfläche "Berechnen", um das Ergebnis anzuzeigen.

Was ist die Standardabweichungsformel?

Die Standardabweichung für einen Datensatz kann berechnet werden, indem zuerst die Varianz des Datensatzes berechnet und dann die Quadratwurzel der Varianz gezogen wird.
Die Varianzformel ist die Summe der quadrierten Differenzen zwischen jedem Datenpunkt und dem Mittelwert. Diese wird dann durch die Anzahl der Datenpunkte geteilt.
Die Abweichungsformel hängt davon ab, ob Sie mit Daten aus einer vollständigen Grundgesamtheit oder mit Daten arbeiten, bei denen es sich um einen Beispieldatensatz handelt. Beim Arbeiten mit einer vollständigen Grundgesamtheit wird der Mittelwert durch die Größe des Datensatzes (n) geteilt. Wenn Sie mit einer Stichprobe arbeiten, teilen Sie den Mittelwert durch die Größe des Datensatzes minus eins (n - 1).

Bevölkerungsstandardabweichung

Die Formel für die Varianz der Grundgesamtheit lautet:
Varianz für die Standardabweichung einer Grundgesamtheit
Um die Standardabweichung von der Varianz herauszufinden, müssen Sie die Quadratwurzel der Varianz ziehen:
Standardabweichung für eine Population

Standardabweichung der Stichprobe

Die Formel für die Varianz des Beispieldatensatzes lautet:
Varianz für die Standardabweichung eines Beispieldatensatzes
Um die Standardabweichung für die Stichprobe aus der Varianz zu erhalten, ziehen Sie die Quadratwurzel der Varianz:
Standardabweichung einer Probe

Unkorrigierte Standardabweichung der Stichprobe

Es ist möglich, die Formel für die Standardabweichung der Grundgesamtheit auf die Stichprobe anzuwenden. Sie können dies tun, indem Sie die Stichprobengröße als Bevölkerungsgröße verwenden. Dieser Schätzer wird mit "sN" bezeichnet und ist als unkorrigierte Standardabweichung der Stichprobe bekannt.
Mathematische Definition der unkorrigierten Standardabweichung der Stichprobe:
Definition der unkorrigierten Standardabweichung der Stichprobe
{x₁, x₂, x₃, ..., xₙ} = values of the sample items
x̄ = mean value of values
N = size of the sample (the square root of the variance)

Korrigierte Standardabweichung der Stichprobe

Das Ergebnis bei Verwendung der verzerrten Stichprobenvarianz zur Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit ist:
Formel für die korrigierte Standardabweichung der Stichprobe

Unverzerrte Standardabweichung der Stichprobe

Wenn Sie mit der unverzerrten Schätzung der Standardabweichung arbeiten, müssen Sie bedenken, dass es keine einzelne Formel gibt, die für alle Verteilungen funktioniert. Anstelle einer einzelnen Formel wird der Wert 's' zugrunde gelegt, um mit Hilfe des Korrekturfaktors die unverzerrte Schätzung zu ermitteln.
unbiased estimator for the normal distribution = s/c₄
Den Korrekturfaktor finden Sie mit der Gamma-Funktion:
Gammafunktion für unverzerrte Stichprobenstandardabweichung
Wegen der 'Chi-Verteilung' müssen wir den Mittelwert der Chi-Verteilung herausfinden. Dieser Mittelwert wird als Korrekturfaktor verwendet. Sie können eine Näherung finden, indem Sie "N - 1" durch "N - 1,5" ersetzen:
Näherung für unverzerrte Stichprobenstandardabweichung
Diese Näherung ist für alle Szenarien am besten geeignet, außer wenn Ihre Stichprobengröße sehr klein ist oder Sie eine sehr hohe Genauigkeit benötigen. Sie können diese Näherung auch verfeinern, indem Sie anstelle von 'N - 1,5' die folgende Formel verwenden:
Refined approximation = N - 1.5 + 1 / (8(N - 1))
Die beste Näherungsformel hängt von Ihrem Datensatz ab, aber in den meisten Fällen kann die folgende Näherung verwendet werden:
Verfeinerte Näherung für unverzerrte Stichprobenstandardabweichung
Y₂ = excess kurtosis
Sie können die überschüssige Kurtosis aus den Daten mit der folgenden Formel abschätzen:
kurtosis: a₄ = m₄ / m₂²
excess kurtosis: g₂ = a₄ - 3
m = m₄ = ∑(x−x̅)⁴
m₂ = ∑(x−x̅)² / N

Anwendungen der Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein weit verbreitetes statistisches Werkzeug. Die Standardabweichung wird am häufigsten in experimentellen Umgebungen verwendet, in denen die Leistung mit realen Daten getestet wird. Ein Beispiel für diese Art der Leistungsprüfung ist die Qualitätskontrolle.
Neben der Qualitätskontrolle wird die Standardabweichung in der Finanzwelt stark verwendet. Eine der beliebtesten Finanzanwendungen für die Standardabweichung ist die Messung des Risikos von Kursschwankungen von Finanzanlagen.
Die Standardabweichung ist auch ein sehr nützliches Instrument zur Bestimmung regionaler Klimaunterschiede. Zwei Städte können die gleiche Durchschnittstemperatur haben, aber die Standardabweichung ihrer Temperaturen kann stark variieren. Zum Beispiel können zwei Städte mit derselben Durchschnittstemperatur völlig unterschiedliche Standardabweichungen aufweisen. Die erste Stadt kann im Winter sehr kalt und im Sommer sehr heiß sein, während die andere Stadt das ganze Jahr über ungefähr die gleiche Temperatur hat. Beide Städte hätten die gleiche Durchschnittstemperatur, aber der Unterschied zwischen Höchst- und Tiefsttemperatur wäre sehr groß.

Verweise

David, H. A., et al. “The Distribution of the Ratio, in a Single Normal Sample, of Range to Standard Deviation.” Biometrika, vol. 41, no. 3/4, [Oxford University Press, Biometrika Trust], 1954, pp. 482–93, https://doi.org/10.2307/2332728.
Delmas, R. and Liu, Y., 2005. Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Statistics Education Research Journal, 4(1), pp.55-82.
Premaratne, G. and Bera, A.K., 2000. Modeling asymmetry and excess kurtosis in stock return data. Illinois Research & Reference Working Paper No. 00-123.
Weisstein, Eric W. "Chi Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, https://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html
Measures of Shape: Skewness and Kurtosis, Stan Brown, https://brownmath.com/stat/shape.htm

John Cruz
Autor des Artikels
John Cruz
John ist Doktorand mit einer Leidenschaft für Mathematik und Pädagogik. In seiner Freizeit geht John gerne wandern und Rad fahren.

Standardabweichungsrechner Deutsch
Veröffentlicht: Sun Jul 11 2021
In Kategorie Mathematische Taschenrechner
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